容斥问题

　　(一)基本公式

　　1. 两集合 A 和 B 之间的关系：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |

　　满足条件 A 或 B 的情况数=满足 A 的情况数+满足 B 的情况数-两个条件都满足的情况数

　　2. 三集合 A、B 和 C 之间的关系：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|

　　(二)解题技巧——画图法

　　1. 标数时，注意由中间向外围标记;

　　2. 图示中每一部分都有自己的含义，标数切不可写错;

　　3. 注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分，及“三个条件都不满足”的情形。

　　(三)多集合反向构造

　　题中给出多个集合，问题中出现“至少……都……”的情况下，一般采用逆向思考，利用极端情况来解题，解题步骤为反向、求和、做差。

　　【例 1】全班有 48 人，喜欢打乒乓球的 30 人，喜欢打羽毛球的 25 人，既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有多少人?

　　A. 5 B. 7

　　C. 10

　　D. 18

　　【答案】B

　　【解析】本题考查容斥问题，属于二集合容斥类。

　　设两种球都喜欢的有 x 人，都不喜欢的有 y 人，根据二集合容斥公式 48-y=30+25-x，化简得 x=y+7。

　　求 x 的最小值。仅当 y=0 时，x 最小为 7。故既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有 7 人。

　　因此，选择 B 选项。

　　【例 2】建华中学共有 1600 名学生，其中喜欢乒乓球的有 1180 人，喜欢羽毛球的有 1360 人，喜欢篮球的有 1250 人，喜欢足球的有 1040 人，问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人?

　　A. 20 人 B. 30 人

　　C. 40 人 D. 50 人

　　【答案】B

　　【解析】本题考查最值问题，属于反向构造类。

　　反向：不喜欢乒乓球的有 1600-1180=420(人)，同理，不喜欢羽毛球、篮球、足球的分别有 240人、350 人、560 人。加和：不喜欢任意一项的人最多有 420+240+350+560=1570(人)。做差：四项球类运动都喜欢的至少有 1600-1570=30(人)。

　　因此，选择 B 选项。